Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 30
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tia Ax vuông góc với AB. Từ điểm M trên tại Ax kẻ tiếp tuyến MP với nửa đường tròn (P là tiếp điểm khác A). Đoạn AP cắt OM tại K, MB cắt nửa đường tròn tại Q (Q khác B).
a) Chứng minh AMPO, AMQK là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác MQO và MKB đồng dạng.
c) Gọi H là hình chiếu của P trên AB, I là giao điểm của MB và PH. Chứng minh: KI vuông góc với AM.
Lời giải
a)
Ta có Ax và MP là hai tiếp tuyến của
nửa đường tròn nên 
do
đó tứ giác AMPO nội tiếp.
Ta có:
=>OM là trung trực của đoạn AP
Lại
có: 
(góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn) =>
Từ
(1) và (2) suy ra 
cùng nhìn AM nên tứ
giác AMQK nội tiếp.
b)
Ta có: 
(cùng chắn
cung AQ của nửa đường tròn)
Mà 
(do tứ giác MQKA nội tiếp
– câu a))
=>
=>tứ giác QKOB nội tiếp=>
(cùng chắn cung KQ)
Xét hai tam
giác MQO và MKB có 
chung; (CM trên) nên hai tam giác MQO và MKB
đồng dạng.
c) Cách 1:
BP cắt tia Ax tại C, ta có MO song song BC (vì cùng vuông góc với AP) mà AO = OB nên AM=MC
Lại
có PH song song với AC nên theo định lý Ta lét ta có: 
Từ đó dễ thấy KI là đường trung bình của tam giác APH, do đó KI song song với AB => KI ⊥AM
Cách 2:
Ta có 
phụ với 
;
phụ
với 
;mà 
(cùng
phụ với 
)
Nhưng 
(do tứ giác MQKA nội tiếp-câu
b). Do đó 
=>tứ
giác KQPI nội tiếp =>
(cùng chắn
cung KQ) mà 
=>KI song song với AB (có cặp góc đồng vị bằng nhau) => KI ⊥ AM.
Comments
Post a Comment