Tìm vị trí để diện tích tam giác lớn nhất lớp 9.

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=R√2. Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi tam giác ADE=2R.

a. CHứng minh tứ giác ABOC là hình vuông.

b. CHứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

c. Tìm giá trị lớn nhất của của diện tích tam giác ADE.

giải:

a. tam giác ABO vuông rồi, ta chứng minh góc O bằng 45 độ nữa là xong. Dựa vào OA =R√2

b. Ta sẽ chứng minh dụa vào chu vi tam giác bằng 2R.

c. bài này ta có thể biện luận theo hai cách:
Cách 1: Hình Học
Vẽ đoạn thẳng JK như hình vẽ, JK cắt DE tại L.
Với DJ và EK thì ta thấy;
 SDJL<SKLE
=>SADE<SAJK
Vậy diện tích tam giác ADE lớn nhất khi DJ và EK.
=>ΔADE vuông cân tại A.
=>AD=AE=AH.2=(R2-R).2=R(2-2)
=>SADE=[R(2-2)]2/2=(3-22)R2.
Cách 2: đại số.
Gọi BD là x, CE là y thì ta có:
SADE=(R-x)(R-y)/2=(R2-R(x+y)+xy)/2
Dể thấy SADE lớn nhất khi x+y nhỏ và x.y lớn => thỏa mãn hệ thức cô-si.
X+y≥√(xy) dấu bằng xảy ra khi x=y; lưu ý lúc đó: x+y nhỏ nhất và x.y lớn nhất
Vậy suy ra: x=y
ð Tam giác ADE vuông cân tại A.
ð X=y=R(2-1)
Thay vào biểu thức trên ta cũng có: SADE=(3-22)R2.



Comments