Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 34

Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ AH BC tại H. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh góc AHK = góc ABC và AH2 = AI.AK

c) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AI và AK. Chứng minh rằng: Nếu AH = AM + AN thì ba điểm A, O, H thẳng hàng.

Lời giải

a) Vì AH HC, AK KC nên góc AHC = góc AKC = 90o góc AHC + góc AKC = 180o

Suy ra AHCK là tứ giác nội tiếp

b) Vì AHCK là tứ giác nội tiếp nên góc AHK = góc ACK (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

Mặt khác góc ABC = góc ACK (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC của (O))

Suy ra góc AHK = góc ABC. (1)

Vì góc AHB = góc AIB = 90o + 90o = 180o  nên AHBI là tứ giác nội tiếp góc ABH = góc AIH hay góc ABC = góc AIH (2)

Từ (1) và (2) góc AHK = góc AIH (3)

Chứng minh tương tự, ta có góc AHI = góc AKH (4)

Từ (3) và (4) có tam giác AIH đồng dạng với tam giác AHK(g-g)

(đpcm)

c) Vì M, N là trung điểm của AI, AK nên

Kết hợp với ý b, ta có

Gọi J là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của (O). Có ∆ OBJ = ∆ OCJ (cạnh huyền–cạnh góc vuông) JO là phân giác của góc BJC và JB = JC

Suy ra OJ là đường trung trực của BC OJ BC

Vì AI = AK, AI IJ, AK KJ nên A thuộc đường phân giác của góc IJK A OJ

Suy ra AO BC, mà AH BC nên A, O, H thẳng hàng.

 

Lưu ý:
ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9

Comments

Popular posts from this blog

NBC Washington Correspondent Yamiche Alcindor and former U.S. Attorney Barbara McQuade join Andrea Mitchell to discuss key challenges facing the January 6 Committee ahead of their primetime hearings this week: getting a "distracted nation" to pay attention and understand what's at stake. “I think the biggest challenge for lawmakers here, as they talk about these sort of huge ideas of American democracy and sort of the experiment that we're all living in, benefiting from, possibly being brought to his knees, is whether or not they can make people care,” says Alcindor. “The American public has been groomed to expect high value quick entertainment,” says McQuade. "I think putting together a polished show can be very important."

Cuomo, Lemon discuss Trump's comments on race

Alan Dershowitz and Matt Bevin discuss the Covington Catholic High School student's $250 million lawsuit