Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 36

Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy một điểm A trên đường tròn (O) sao cho AB > AC (A khác C). Từ A vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Từ H vẽ HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC (E thuộc AB, F thuộc AC)

a) Chứng minh rằng AEHF là hình chữ nhật và OA EF

b) Tia FE cắt đường tròn (O) tại P. Chứng minh rằng ∆ APH cân

Lời giải

a) Có BAC = 90°  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vì HE AB, HF AC nên AEH=AFH = 90°

Tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Gọi I là giao OA và EF. Vì ∆ OAB cân ở O nên EAI=ABO  (1)

AEHF là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn AEI=AHF (2)

Vì AE // HF (cùng AC) nên AHF=EAH=90o- ABO (3)

Từ (1), (2), (3) EAI+ AEI = 90° ∆ AEI vuông tại I OA EF

b) Gọi Q là giao của tia EF với (O). Vì OA PQ nên A là điểm chính giữa cung PQ

∆ APQ cân tại A APQ=AQP

Vì APBQ là tứ giác nội tiếp nên ABP=AQP

Suy ra ABP=APQ=APE=>tam giác ABP đồng dạng với tam giác APE (g-g)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB có AH2 = AE. AB

AP2 = AH2 AP = AH ∆ APH cân ở A.

 

Câu 2:     [Hòa Bình 2014 – 2015]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD ( F AD )

a) Chứng minh rằng tia CA là phân giác của góc BCF.

b) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: CM.DB = DF.DO

Lời giải

a) Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên BCA=BDA(1)

Có ACD=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=> ECD+EFD=180o

Suy ra ECDF là tứ giác nội tiếp>ECF=EDF(2)

Từ (1) và (2) =>BCA=FCA

=>CA là phân giác của góc BCF

b) Vì ∆ CED vuông tại C nên CM = ME = MD 2CM = DE

Tam giác DEF đồng dạng với tam giác DAB

=>

Câu 3:     [Hưng Yên 2016 – 2017]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy điểm C sao cho C khác A. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm) và cát tuyến CMN (M nằm giữa N và C) với đường tròn. Gọi H là giao điểm và CO và AD.

a) Chứng minh các điểm C, A, O, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh CH.CO = CM.CN

c) Tiếp tuyến tại Mcuar đường tròn (O) cắt CA, CD thứ tự tại E, F. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt CA, CD thứ tự tại P, Q. Chứng minh PE + QF ³ PQ.

Lời giải

a) Vì CA, CD là tiếp tuyến của (O) (gt)

Nên góc CAO = CDO = 900 ( theo tính chất tiếp tuyến)

Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn. (điều phải chứng minh).

Cách 2: có góc CAO = CDO = 900 nên góc CAO + CDO = 1800

Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Chứng minh được tam giác COD vuông tại A có đường cao DH nên

CH.CO = CD2 (1)

Ta chứng minh được D CMD đồng dạng với D CDN

Nên có CM.CN = CD2 (2)

(1) và (2) ta co dpcm.

c) Ta có OFQ= MDO (cùng phụ với góc FDM)

Tứ giác AODC nội tiếp => ADO=ACO (Cùng chắn cung AO)

Mà ACO =AOP (cùng phụ với góc P) => ADO=APO (2)

Từ (1) và (2) suy ra POE=MDO=OFQ  (3)

Tam giác CPQ cân tại C => P=Q (4)

Từ (3) và (4) ta có tam giác POE đồng dạng với tam giác QFO

ó

Theo Cô-si có

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi QF = PE (Tức là M là giao điểm của OC và (O)).

 

Câu 4:     [Hưng Yên 2014 – 2015]

Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao AH, BK của tam giác. Các tia AH, BK lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là D, E.

a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn . Xác định tâm đường tròn đó.

b) Chứng minh : HK // DE.

c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp D CHK không đổi.

Lời giải

a) Tứ giác ABHK có AKB=AHB=90o .

Suy ra Tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB.Tâm O’ của đường tròn náy là trung điểm của AB.

b) Theo câu a) Tứ giác ABHK nội tiếp (J) với J là trung điểm của AB

Nên BAH = BKH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH của (J) )

Mà BAH = BAD (A, H, D thẳng hàng)

BAD = BED (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O) )

Suy ra BKH = BED . Hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // DE.

c) - Gọi T là giao của hai đường cao AH và BK.

Dễ CM được tứ giác CHTK nội tiếp đường tròn đường kính CT.

(do CHT=CKT=90o ).

Do đó CT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK. (*)

- Gọi F là giao của CO với (O) hay CF là đường kính của (O).

Ta có CAF=90o ( góc nội tiếp chắn nửa (O)) => FA ^ CA

Mà BK ^ CA (gt). Nên BK // FA hay BT // FA (1)

Ta có CBF=90o ( góc nội tiếp chắn nửa (O)) => FB ^ CB

Mà AH ^ CB (gt). Nên AH // FB hay AT // FB (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFBT là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối //)

Do J là trung điểm của đường chéo AB

Nên J cũng là trung điểm của đường chéo FT( tính chất về đường chéo hbh).

Xét tam giác CTF có O là trung điểm của FC, J là trung điểm của FT

Nên OJ là đường trung bình=> (**)

Từ (*) và (**) ta có độ dài của OJ bằng độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.

Mà độ dài của OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J là trung điểm của dây AB). Do (O) và dây AB cố định nên độ dài của OJ không đổi.

Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi.

 

Câu 5:     [Hưng Yên 2015 – 2016]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O và AB<AC . Vẽ đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ BE CF vuông góc với AD (E, F thuộc AD). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).

a) Chứng minh bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh HE song song với CD.

c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME = MF.

Lời giải

a) Theo bài có AEB= AHB= 90o.

Suy ra bốn điểm A, B, H, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Tứ giác ABH nội tiếp đường tròn Þ BAE= EHC (1)

Mặt khác, BCD=BAE (góc nội tiếp cùng chắn BD )(2)

Từ (1) và (2) suy ra BCD=EHC

=>HE//CD

c) Gọi K là trung điểm của EC, I là giao điểm của MK với ED.

Khi đó MK là đường trung bình của DBCE

=>MK // BE mà BE ^ AD (gt)

=>MK ^ AD hay MK ^ EF (3)

Lại có CF ^ AD (gt) Þ MK // CF hay KI // CF.

DECF có KI // CF, KE = KC nên IE = IF (4)

Từ (3) và (4) suy ra MK là đường trung trực của EF

Þ ME = MF

 

Câu 6:     [Khánh Hòa 2015 – 2016]

Cho tam giác  vuông tại . Hai đường tròn  và   cắt nhau tại điểm thứ hai là . Vẽ đường thẳng   bất kì qua   cắt đường tròn (B) tại M và cắt đường tròn (C) tại N ( D nằm giữa M và N). Tiếp tuyến tại M của đường tròn (B) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (C) cắt nhau tại E.

a) Chứng minh BC là tia phân giác của ABD

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: AD2 = 4BI.CI

c) Chứng minh bốn điểm A, M, E, N cùng thuộc một đường tròn.

d) Chứng minh rằng số đo MEN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng a.

Lời giải

a) C/m: DABC = DDBC (ccc) Þ ABC=DBC  hay: BC là phân giác của ABD

b) Ta có: AB = BD (=bk(B))

CA = CD (=bk(C))

Suy ra: BC là trung trực của AD hay BC ^ AD ÞAI^B

Ta lại có: BC ^ AD tại I Þ IA = ID (đlí)

Xét DABC vuông tại A (gt) có: AI^BC, suy ra: AI2 = BI.CI hay:

c) Ta có: DME=DAM (hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung)

DNE =DAN (hệ quả t/c góc tạo bởi tia tuyến và dây cung)

Suy ra: DME+ DNE=DAM+DAN

Trong DMNE có: MEN+EMN+ENM = 180o , suy ra: MEN+DAM+DAN = 180o

Hay: MEN+MAN =180o Þ tứ giác AMEN nội tiếp.

d) Trong DAMN có: MAN+AMN+ANM = 180o , mà: MEN+MAN =180o

suy ra: MEN=AMN+ANM

Ta lại có: (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mà: DABC vuông tại A nên: MEN = 90o (không đổi)

Vậy số đo góc MEN không phụ thuộc vào đường thẳng a.

 

Câu 7:     [Kiên Giang 2015 – 2016]

Cho tam giác ABC nhọn (AB <AC) ba đường cao AP, BM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp

b) Chứng minh tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

c) Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH (D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với đường tròn đường kính CH (E là tiếp điểm). Chứng minh BD = BE

d) Giả sử AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính MN

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác BCMN nội tiếp

Ta có BMC=BNC=90O

=>M và N cùng nhìn BC dưới một góc không đổi bằng 900

=>tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn  

b) Chứng minh tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

Xét tam giác ANM và ACB có:

Góc A chung

Góc ANM = góc ACB (cùng bù với góc BNM)

=>tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB

c) Kẻ tiếp tuyến BD với đường tròn đường kính AH (D là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến BE với đường tròn đường kính CH (E là tiếp điểm). Chứng minh BD = BE

+ Chứng minh tam giác BDH đồng dạng với tam giác BMD (góc – góc)

=>BD2 = BH.BM

+ Tương tự ta chứng minh được BE2 = BH.BM

=>BD = BE

d) Giả sử AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính MN

Đặt AN = x NB = 4- x (điều kiện 0 < x < 4)

Áp dụng định lý Pythago ta có:

CN2 = AC2 – AN2 = BC2 – BN2

ó52 – x2 = 62 – (4-x)2

ó25 – x2 = 36 – 16 + 8x – x2

ó25 – 36 + 16 = 8x

ó8x = 5

óx=0,625(nhận)

Vậy AN = 0,625

Tam giác ANM đồng dạng với tam giác ACB (cmt)

 

Câu 8:     [Kon Tum -2014 – 2015].

Cho DABC vuông tại A và đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Biết BH=2cm, HC=6cm. Tính diện tích hình quạt AOH (ứng với cung nhỏ AH).

Lời giải

 ÞAB=4(cm)ÞOA=2(cm)

CosÐABH=HB/AB=2/4=1/2ÞÐABH=60°

ÞÐAOH=2ÐABH=120°

 

Câu 9:      [Kon Tum 2014 – 2015]

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD của đường tròn (O) cắt nhau tại N bên trong đường tròn (C, D nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Hai tiếp tuyến Cx và Dy của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.

a) Chứng minh tứ giác DNCP nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng.

Lời giải

a)DNCP nội tiếp

ÐACB=ÐADB=90°(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ÞAC^PB và BD^PAÞÐPAN=ÐPCN=90°ÞTứ giác DNCP nội tiếp đường tròn đường kính PN

b)P,M,N thẳng hang

A,D,C,B cùng thuộc (O)Þtứ giác ADCB nội tiếpÞÐOBC=ÐPDC

ÐPDC=ÐMNC( cùng chắn cung PC của đường tròn (DNCP))

ÐOCB=ÐOBC( OCB cân tại O) và ÐMCN=ÐOCB(cùng phụ ÐOCN)

ÞÐMNC=ÐMCNÞ MCN cân tại MÞMN=MC

vì MD=MC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)ÞMN=MC=MD

Þ DCN nội tiếp đường tròn tâm M

Mặt khác DCN nội tiếp đường đường kính PN(vì tứ giác DNCP nội tiếp)

ÞM là trung điểm PNÞVậy P,M,N thẳng hàng (đpcm)

Câu 10:                [Lạng Sơn 2013 – 2014]

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C). Gọi E là trung điểm của dây BC.

a) Chứng minh: MAOE là tứ giác nội tiếp.

b) MO cắt đường tròn tại I (I nằm giữa M và O). Tính

c) Tia phân giác góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh:

Lời giải

a) Chứng minh MAOE là tứ giác nội tiếp.

Do E là trung điểm của dây cung BC nên OEM=90o (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

Do MA là tiếp tuyến nên  OAM=90O ,tứ giác MAOE có OEM+OAM=180o nên nội tiếp đường tròn.

b) Tính

Ta có: (cùng chắn cung AI)

 (do tam giác MAO vuông tại A)

c) Chứng minh

Do tam giác MAB đồng dạng với tam giác MCA (g.g) nên

Gọi K là giao điểm của phân giác AD với đường tròn (O)

= 

(vì AD là phân giác góc BAC nên cung KB = cung KC)

Mặt khác:  (Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

Nên tam giác MAD cân: MA = MD

Vậy (đpcm)

Câu 11:                [Lạng Sơn 2014 – 2015]

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB; AC lần lượt tại M và N.Gọi H là giao điểm của BN cà CM, K là trung điểm của AH.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh AM.AB = AN.AC

c) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải

a) Có  BMC=90o (Nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>AMH=90o

Có BNC=90O (Nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>ANH=90O(Do kề bù)

Vậy AMH+ANH=180o nên tứ giác AMHN nội tiếp

b) Xét ∆AMC và ∆ANB có AMC=ACB=90o (chứng minh ý a)

Có  góc A chung nên ∆AMC đồng dạng ∆ ANB (g.g)

c) Có H là trực tâm của ∆ ABC => AH vuông góc BC

=>CAH+ACB=90o    (1)

KN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông NHA

=>KNA=KAN   (2)

∆ ONC cân tại O nên ONC=OCN   (3)

Từ 1, 2, 3 ta có: KAN+ONC=90o

=>KNO=90o hay KN là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Câu 12:                [Lạng Sơn 2015 – 2016]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có ba góc nhọn. Kẻ cac đường cao BE; CF ( Điểm E trên AC, điểm F trên AB) gọi H là giao điểm của BE với CF

a) Chứng minh rằng các tứ giác AFHE và BFEC nội tiếp

b) Gọi S là trung điểm AH. Chứng minh rằng Ð ESF = Ð BOC và hai tam giác ESF và BOC đồng dạng.

c) Kẻ OM vuông góc với BC( M nằm trên BC) Chứng minh rằng SM vuông góc với EF

Lời giải

a) Xét tứ giác AFHE có Ð AFH = 900 ; Ð AEH = 90o

=> Ð AFH + Ð AEH = 1800 nên tứ giác AFHE nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có Ð BFC = 900 nên F thuộc đường trong đường kính BC

Ð BEC = 900 nên E thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC nội tiếp

b) Ta có tứ giác AFHE nội tiếp (ý a) => Ð ESF = 2Ð EAF(cùng chắn cung EHF)

Ð BOC = 2 EAF trong đường tròn tâm O nên Ð ESF = Ð BOC

Xét D ESF và D BOC có Ð ESF = Ð BOC ( chứng minh trên)

c)

Câu 13:                [Lào Cai 2013 – 2014]

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A sao cho OA = 3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O ; R) (P, Q là 2 tiếp điểm). Lấy M thuộc đường tròn (O ; R) sao cho PM song song với AQ. Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM với đường tròn (O ; R). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.

a) Chứng minh tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp và KA2 = KN.KP

b) Kẻ đường kính QS của đường tròn (O ; R). Chứng minh NS là tia phân giác của góc PNM

c) Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK. Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R

Lời giải

a) tứ giác APOQ có tổng hai góc đối bằng 1800.

PM//AQ suy ra

 (So le trong)

(cùng chắn cung PN)

=>

Tam giác KAN và tam giác KPA có góc K chung

 nên hai tam giác đồng dạng (g-g)

b) PM//AQ mà SQ ^ AQ (t/c tiếp tuyến) nên SQ ^ PM suy ra

Nên  hay NS là tia phân giác của góc

c) Gọi H là giao điểm của PQ với AO

G là trọng tâm của tam giác APQ nên AG = 2/3 AH

mà OP2 = OA.OH nên OH = OP2/OA = R2/ 3R = R/3 nên AH = 3R – R/3 = 8R/3

do đó AG = 2/3 . 8R/3 = 16R/9

 

Câu 14:                [Long An 2013 – 2014]

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, BC = 5cm, AH là chiều cao của tam giác ABC. Tính độ dài AC và AH

Bài 2:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Ba đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H (với E thuộc BC, F thuộc AC, G thuộc AB).

a) Chứng minh các tứ giác AFHG và BGFC là các tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I và M lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của tứ giác AFHG và BGFC. Chứng minh MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

c) Gọi D là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn tâm O. Chứng minh:

Lời giải

Bài 1

Bài 2

a) Chứng minh tứ giác AFHG và BGFC nội tiếp.

Ta có:

=>AFHG là tứ giác nội tiếp

Ta có:

=>Tứ giác BGFC nội tiếp (Vì tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn BC dưới một góc bằng 90o)

b) Gọi I và M lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHG và BGFC. Chứng minh MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm (I).

(tam giác IAG cân tại I ) (1)

 ( tam giác MGB cân tại M ) (2)

 (3)

Từ (1), (2) và (3) =>

=>MG là tiếp tuyến của đường tròn tâm I

c) Gọi D là giao điểm thứ hai của AE với đường tròn tâm O. Chứng minh:

Kẻ đường kính AK của đường tròn tâm O

   (4)

Tam giác ABK vuôn tại B

Tứ giác BCKD là hình thang ( BC//DK do cùng vuông góc với AD ) (6)

Tứ giác BCKD nội tiếp đường tròn (O)   (7)

Từ (6), (7) => BCKD là hình thang cân.

=> DC = BK (8)

Từ (4), (5), (8) =>

Câu 15:                [Long An 2014 – 2015]

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao (H Î BC) có AH = 6cm ; HC = 8cm . Tính độ dài AC , BC và AB .

Bài 2:

Cho đường tròn (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn (O) . Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SB với đường tròn (O) . ( A và B là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp và SO vuông góc AB.

b) Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt (O) tại hai điểm M và N (với a không đi qua tâm O, M nằm giữa S và N).Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểmcủa MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E.

+) Chứng minh:

+) Cho  SO=2R và . Hãy tính SM theo R.

Lời giải

Bài 1.

Ta có:

=>

Bài 2

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp và SO vuông góc AB.

Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp. (0,5)

SA và SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) =>

=>Tứ giác SAOB là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh SO vuông góc AB . (0,5)

SA và SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O ) O Þ SA=SB

Mà OA=OB=R

=>SO là đường trung trực AB

=>SO vuông AB

b)

+) Chứng minh:OI=OE=R2  (1,0)

Tam giác AOI vuông tại A có AH là đường cao

=>OA2=OH.OS=R2  (1)

I là trung điểm MN,MN không qua O=>OI vuông MN

Xét tam giác OHE vuông tại H và tam giác OIS vuông tại I có:

EOH chung

=> tam giác OHE đồng dạng với tam giác OIS

Từ (1) và (2) suy ra OI.OE=R2

+) Cho  SO=2R và . Hãy tính SM theo R.

Tam giác OIM vuông tại I

Tam giác OIS vuông tại I =>

Câu 16:                [Long An 2015 – 2016]

Bài 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao (H Î BC) có BC = 10 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài AB , BH và số đo góc C ( số đo góc C làm tròn đến độ).

Bài 2:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm C trên đường thẳng AB sao cho B nằm giữa A, C. Kẻ tiếp tuyến CK với nửa đường tròn tâm O (K là tiếp điểm), tia CK cắt tia tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn tâm O tại D ( tia tiếp tuyến Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn tâm O).

a) Chứng minh tứ giác AOKD là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOKD.

b) Chứng minh: CO.CA=CK2+CK.DK

c) Kẻ ON ^AB thuộc đoạn thẳng CD). Chứng minh

Lời giải

Bài 1:

* Tính AB:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào D vuông ABC :

Vậy

* Tính BH : Áp dụng hệ thức lượng vào D vuông ABC :

* Tính :

Bài 2:

a) Chứng minh tứ giác AOKD là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOKD.

AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O =>DAO=90O

CK là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O=>DKO=90o

Xét tứ giác AOKD, ta có:

DAO+DKO=180o

Vậy tứ giác AOKD là tứ giác nội tiếp.

Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOKD là trung điểm của đoạn DO.

b) Chứng minh: CO.CA=CK2+CK.DK

Xét hai tam giác COK CDA có: CKO=CAD=90(gt)

C chung

=>tam giác COK đồng dạng với tam giác CDA(g-g)

c) Kẻ ON ^ AB ( N thuộc đoạn thẳng CD). Chứng minh :

Ta có: ON // DA ( cùng vuông góc với AB)

=>ADO=DON(so le trong)

Mặt kahsc ADO=ODN(tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy DON=ODN

=>tam giác DON cân tại N

=>NO=ND

Tam giác CAD có ON//AD nên tam giác CAD đồng dạng với tam giác CON

=>

(đpcm)

 

Câu 17:                [Nam Định 2013 – 2014]

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối cùa tia BA lấy điểm C (C không trùng với B). Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với đường tròn (O) (K không trùng với B).

a) Chứng minh :

b) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh

Lời giải

 

a) Chứng minh AE2=EK.EB

+Chỉ ra ∆ AEB vuông tại A (gt AE là tiếp tuyến của (O)

+Chỉ ra  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

suy ra AK là đường cao của tam giác vuông AEB.

+Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông AEB ta có: AE2=EK.EB

b) Chứng minh 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.

+Chỉ ra tứ giác AHKE nội tiếp:

Ta có: EO là đường trung trực của đoạn thẳng AD (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Nên ta có: EO vuông góc với AD nên

Ta lại có

Nên suy ra tứ giác AHKE nội tiếp.

=>

+Chỉ ra góc     (do cùng phụ với góc AEB)

+Suy ra tứ giác BOHK nội tiếp suy ra 4 điểm B, O, H, K cùng thuộc một đường tròn.

c) Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M. Chứng minh

+Chỉ ra ∆OEM cân tại M: do có góc EOM = góc MEO (vì cùng bằng góc AEO)

suy ra ME = MO.

+Có OM và AE cùng vuông góc với AB nên OM // AE, áp dụng định lý Ta- lét trong ∆CEA ta có:

Ta có:

Mà ME = MO nên suy ra

 

Câu 18:                [Nam Định 2015 – 2016]

Cho đường tròn tâm O, điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AED tới (O) (B, C là các tiếp điểm; E nằm giữa A và D). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Chứng minh AB2 = AE. AD và AE .AD = AH. AO

c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD thuộc (O).

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

+ Ta có AB là tiếp tuyến của (O)Þ AB^OB ÞABO=90o

+ Ta có AC là tiếp tuyến của (O)ÞAC^OCÞ ACO=90o

=>ABO+ACO=90o+90o=180o

+ Vậy tứ giác ABOC là một tứ giác nội tiếp (vì có tổng 2 góc đối bằng 1800)

b) Chứng minh AB2 = AE.AD và AE.AD = AH.AO.

+ Ta có ABE=ADB (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung EB của (O))

+ Xét ∆ ABE và ∆ ADB có: BAE chung và ABE=ADB Þ ∆ ABE ~ ∆ ADC (g. g)

+ Vì AB, AC là các tiếp tuyến của (O) nên suy ra AB = AC và AO là tia phân giác của góc BAC.

Suy ra ∆ ABC cân tại A có AO là đường phân giác đồng thời là đường caoÞ OA^ BC

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong ∆ vuông ABO ta có AB2=AH.AO(2)

Từ (1) và (2)ÞAB2 = AE.AD và AE.AD = AH.AO. (đpcm).

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD thuộc (O)

+ Gọi F là giao điểm thứ 2 của tia BI với đường tròn (O). Suy ra CBF=DBF Þ CF=DF (theo hệ quả của góc nôi tiếp: 2 góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau). Þ FC = FD (3)

+ Ta có FID là góc ngoài tại đỉnh I của ∆ BID. Suy ra FID=FBD+ BDI

Mà BDI= IDC (vì ID là tia phân giác của góc BDC); FBD=FBC (vì IB là tia phân giác của góc DBC)

FBC=FDC (góc nội tiếp cùng chắn cung CF của (O)).

+ Suy ra FID=IDC+CDF+FDI Þ ∆ IDF cân tại F Þ FD = FI. (4)     

+ Từ (3) và (4) suy ra FD = FI = FC. Suy ra F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD (đpcm).

 

Comments