Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 33

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D Î BC, E Î AC, F Î AB)

a) Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp.

b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (F nằm giữa M và E). Chứng minh .

c) Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD.

Lời giải

 

a) Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp.

+) Xét tứ giác BDHF có:

BFH=90^O (CF là đường cao của DABC)

HDB=90^O (AD là đường cao của DABC)

=>BFH+HDB=180^O

Mà BFH và HDB là 2 góc đối nhau=>tứ giác BDHF nội tiếp

Ta có:

BFC=90^o (CF là đường cao của DABC)

BEC=90^o (BE là đường cao của DABC)

Suy ra bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Hay tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Chứng minh .

Vì tứ giác BFEC nội tiếp=>AFN=ACB(cùng bù với góc BFE)

Mà CAN=sđ =(sđ  +sđ )(tính chất góc nội tiếp trong (O))

AFN=(sđ  + sđ ) (tính chất góc có đỉnh bên trong đường (O))

=>

c) Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD

Xét DAMF và DABM có:

MAB chung

AMF=ABM (hai góc nội tiếp cùng chắn  trong (O))

Do đó DAMF ∽ DABM (g.g)

(1)

Xét DAFH và DADB có:

BAD chung

AFH=ADB=90^o (CF và AD là các đường cao của DABC)

Do đó DAFH ∽ DADB (g.g)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Xét DAHM và DAMD có:

MAD chung

(CM trên)

Do đó DAHM ∽ DAMD (c.g.c)

=>AMH=ADM(3)

Vẽ đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DMHD tại M.

Ta có: (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp) (4)

Từ (3) và (4) suy ra

Hay MA trùng với tia Mx

Suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DMHD.

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9