Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 38

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn lấy điểm C sao cho C khác A. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD (D là tiếp điểm) và cát tuyến CMN (M nằm giữa N và C) với đường tròn. Gọi H là giao điểm và CO và AD.

a) Chứng minh các điểm C, A, O, D cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh CH.CO = CM.CN

c) Tiếp tuyến tại Mcuar đường tròn (O) cắt CA, CD thứ tự tại E, F. Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt CA, CD thứ tự tại P, Q. Chứng minh PE + QF ³ PQ.

Lời giải

a) Vì CA, CD là tiếp tuyến của (O) (gt)

Nên góc CAO = CDO = 900 ( theo tính chất tiếp tuyến)

Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn. (điều phải chứng minh).

Cách 2: có góc CAO = CDO = 900 nên góc CAO + CDO = 1800

Suy ra 4 điểm C, A, O, D cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Chứng minh được tam giác COD vuông tại A có đường cao DH nên

CH.CO = CD2 (1)

Ta chứng minh được D CMD đồng dạng với D CDN

Nên có CM.CN = CD2 (2)

(1) và (2) ta co dpcm.

c) Ta có OFQ= MDO (cùng phụ với góc FDM)

Tứ giác AODC nội tiếp => ADO=ACO (Cùng chắn cung AO)

Mà ACO =AOP (cùng phụ với góc P) => ADO=APO (2)

Từ (1) và (2) suy ra POE=MDO=OFQ  (3)

Tam giác CPQ cân tại C => P=Q (4)

Từ (3) và (4) ta có tam giác POE đồng dạng với tam giác QFO

ó

Theo Cô-si có 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi QF = PE (Tức là M là giao điểm của OC và (O)).

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9