Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 1

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Dựng cát tuyến AMN không đi qua O, M nằm giữa A và N. Dựng hai tiếp tuyến AB, AC với (O) ( B,C là hai tiếp điểm và C thuộc cung nhỏ MN). Gọi I là trung điểm của MN.

a) Chứng minh tứ giác OI nội tiếp.

b) Hai tia BO và CI lần lượt cắt (O) tại D và E (D khác B, E khác C). Chứng minh góc CED = góc BAO.

c) Chứng minh OI vuông góc với BE

d) Đường thẳng OI cắt đường tròn tại P và Q (I thuộc OP); MN cắt BC tại F; T là giao điểm thứ hai của PF và (O). Chứng minh ba điểm A; T; Q thẳng hàng.

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác OI nội tiếp.

+ Ta có ABO = 90^o (tctt)

AIO = 90 ( IM = IN)

+ Suy ra ABO + AIO = 180⁰ nên tứ giác ABOI nội tiếp đường tròn đường kính AO.

b) Chứng minh CED = BAO

+ Vì AB; AC là hai tiếp tuyến của (O) nên AO ^ BC

+ Ta có: E₁ = B₁ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CD của đường tròn (O))

BAO = B₁ (cùng phụ O₁)

Suy ra E₁ = BAO hay CED = BAO

c) Chứng minh OI vuông góc với BE

+ Ta có : E2 = ABC (cùng chắn cung BC); ABC = I₃ (A,B,O,I,C cùng thuộc đường tròn đường kính AO);

I3 = I2 (đđ)

Suy ra E2 = I2. Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên MN // BE .

+ Ta lại có MN  OI (IM = IN) nên OI BE

d) Chứng minh ba điểm A; T; Q thẳng hàng.

+ Gọi K là giao điểm OF và AP

+ Ta có QKP = 90^o (góc nt chắn nửa đường tròn) nên QK AP

+ Trong tam giác APQ có hai đường cao AI và QK cắt nhau tại F nên F là trực tâm.

Suy ra PF là đường cao thứ 3 của tam giác APQ nên PF  QA (1)

+ Ta lại có QTP = 90^o ( góc nt chắn nửa đường tròn) nên PF QT (2)

Từ (1);(2) suy ra QA ≡QT. Do đó 3 điểm A; T; Q thẳng hàng.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9