Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 3

Trên đường tròn (O) có đường kính AB = 2R, lấy một điểm C sao cho AC = R và lấy điểm D bất kỳ trên cung nhỏ BC (điểm D không trùng với B và C). Gọi E là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB tại điểm H cắt tia AC tại điểm F. Điểm M là trung điểm của đoạn EF.

a) Chứng minh tứ giác BHCF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: HA.HB = HE. HF

c) Chứng minh CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Xác định vị trí của điểm D để chu vi của tứ giác ABDC lớn nhất.

Lời giải

a) Ta có:  (giả thiết)        (1).

 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra                          (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCF nội tiếp một đường tròn (vì có hai đỉnh H, C kề nhau cùng nhìn BF dưới một góc vuông).

 

b) Xét tam giác vuông BHE và FHA có  (cùng phụ với góc ).

Suy ra hai tam giác BHE và FHA đồng dạng.

Từ đó ta có  ó HA. HB = HE. HF

c) Tam giác vuông ECF vuông tại C có CM là đường trung tuyến

Nên CM = ME suy ra CME là tam giác cân, suy ra (3)

 (do (3) và tam giác COB cân tại O).

=  

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

d) Lấy điểm K đối xứng với điểm C qua AB. Suy ra điểm K cố định trên (O)

Lấy điểm P trên đoạn DK sao cho DP = DC.

Khẳng định tam giác OAC đều => tam giác CBK đều => tam giác CDP đều.

Xét hai tam giác CKP và CBD có:

CP = CD ; CK = CB và (cùng bằng 60^o -  )

Từ đó, ∆CKP = ∆CBD (c.g.c) suy ra PK = BD.

Chu vi tứ giác ABDC bằng:

AB + BD + DC + CA = 3R + BD + DC = 3R + PK + PD = 3R + KD

Chu vi tứ giác lớn nhất khi KD lớn nhất => KD là đường kính của đường tròn (O; R).

Kết luận D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9