Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 39

Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao AH, BK của tam giác. Các tia AH, BK lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là D, E.

a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn . Xác định tâm đường tròn đó.

b) Chứng minh : HK // DE.

c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên (O) sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp D CHK không đổi.

Lời giải

a) Tứ giác ABHK có AKB=AHB=90o .

Suy ra Tứ giác ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB.Tâm O’ của đường tròn náy là trung điểm của AB.

b) Theo câu a) Tứ giác ABHK nội tiếp (J) với J là trung điểm của AB

Nên BAH = BKH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BH của (J) )

Mà BAH = BAD (A, H, D thẳng hàng)

BAD = BED (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của (O) )

Suy ra BKH = BED . Hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // DE.

c) - Gọi T là giao của hai đường cao AH và BK.

Dễ CM được tứ giác CHTK nội tiếp đường tròn đường kính CT.

(do CHT=CKT=90o ).

Do đó CT là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK. (*)

- Gọi F là giao của CO với (O) hay CF là đường kính của (O).

Ta có CAF=90o ( góc nội tiếp chắn nửa (O)) => FA ^ CA

Mà BK ^ CA (gt). Nên BK // FA hay BT // FA (1)

Ta có CBF=90o ( góc nội tiếp chắn nửa (O)) => FB ^ CB

Mà AH ^ CB (gt). Nên AH // FB hay AT // FB (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFBT là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối //)

Do J là trung điểm của đường chéo AB

Nên J cũng là trung điểm của đường chéo FT( tính chất về đường chéo hbh).

Xét tam giác CTF có O là trung điểm của FC, J là trung điểm của FT

Nên OJ là đường trung bình=> (**)

Từ (*) và (**) ta có độ dài của OJ bằng độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.

Mà độ dài của OJ là khoảng cách từ tâm O đến dây AB (J là trung điểm của dây AB). Do (O) và dây AB cố định nên độ dài của OJ không đổi.

Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK không đổi.

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9