Ôn thi Tuyển Sinh 10 - Phần Hình Học - Câu 29

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O).

a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

b) Chứng minh AN2  = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC

d) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài

Lời giải

a) Xét tứ giác AMON có hai góc đối

ANO=90^o

AMO=90⁰ nên là tứ giác nội tiếp

b) Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng nên ta có AB.AC=AM²=AN²=6²=36

c)  (cùng chắn cung MN trong đường tròn (O)), và AIN=AON))

(do 3 điểm N, I, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 90^o)

Vậy AIN=MTI=TIC nên MT//AC do có 2 góc so le bằng nhau.

d) Xét DAKO có AI vuông góc với KO.

Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của OQ và AI thì H là trực tâm của DAKO , nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN vuông góc với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy K nằm trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển.

Cách giai khác: Ta có KB² = KC² = KI.KO. Nên K nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm O và đường tròn đường kính AO. Vậy K nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phương của 2 đường tròn trên.

 

Lưu ý:

ü  Ô vuông là những kí hiệu bị lỗi do Word – thường là Góc

ü  Các bạn có thể xem thêm các bài Ôn Tuyển sinh Hình Học tại Đây: Hình Học 9